Математика музыкального строя
Apr. 15th, 2018 03:06 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
gul_filteredOriginally posted by ![[livejournal.com profile]](https://www.dreamwidth.org/img/external/lj-userinfo.gif)
rainy_sunny at Математика музыкального строя — основы.
Сегодня я расскажу о том, что такое чистые музыкальные интервалы, почему невозможна абсолютная их чистота и на какие компромиссы музыкантам приходилось идти из-за этого.И до сих пор приходится! Кто верит во вселенскую гармонию, лучше не читайте, тлен гарантирован )
Для понимания потребуется базовое знакомство с нотами и интервалами. В поcте много цифр, но вам считать ничего не придётся, достаточно понимать, что происходит.
Любую музыкальную ноту можно выразить цифрой — частотой колебания в герцах. А интервал между двумя нотами — соотношением двух частот. Например, нота на октаву выше данной всегда имеет частоту в 2 раза больше. Поэтому октава — это соотношение 2:1 или множитель 2.
Когда я буду говорить «интервал между двумя нотами равен 5:4», я буду иметь в виду, что частота более высокой ноты в 5:4 (или 1,25) раз выше, чем частота нижней ноты.
Имеет значение именно соотношение («во сколько раз выше»), а не разница частот («на сколько герц больше»). Например, между 100 и 200 Гц такой же интервал, как между 300 и 600 Гц, — октава (2:1).
Чтобы сложить два интервала, мы перемножаем их соотношения. «На октаву выше» значит «в 2 раза выше по частоте», поэтому на две октавы выше — в 4 раза выше, на три октавы — в 8 раз выше, и так далее.
—
Интервалы, которые выражаются простым соотношением (то есть дробью, у которой и числитель и знаменатель — небольшие целые числа), называются чистыми интервалами.
Основные чистые интервалы:
2:1 — октава
3:2 — квинта
4:3 — кварта
5:4 — большая терция
6:5 — малая терция.
Если интервал между нотами чистый, то эти ноты очень хорошо «сливаются» вместе. Музыканты издавна стремились к таким созвучиям.
В посте я буду говорить про разные квинты, терции, и т.д. Но величина октавы будет всегда одна — 2/1.
—
Когда одновременно звучат колебания близкой частоты (например, 200 и 202 Гц), между ними возникают так называемые биения — звук «плавает» или «дрожит» оттого что колебания медленно сдвигаются по фазе относительно друг друга.
Поэтому если интервал между двумя нотами не совсем чистый, но близок к чистому, то биения возникнут между некоторыми гармониками этих нот. Для примера — квинта, которая немного больше чистой:
200, 400, 600, 800, 1000, 1200,...
302, 604, 906, 1208,...
Чем сильнее интервал отклоняется от чистого, тем чаще биения и тем «нестабильнее» он звучит.
—
Ещё интервалы измеряют в центах. Цент — это очень маленький интервал: 1,0005777895... (корень 1200-й степени из 2х). Это одна сотая современного полутона. Он понадобится, чтобы оценить мелкие различия между интервалами.
Вот пример, который поможет ощутить масштабы цента:
—
Последнее примечание: из интервалов я буду говорить только о секундах, терциях и квинтах, потому что интервалы, которые являются обращениями друг друга, ведут себя совершенно аналогично. Например, если в каком-то строю терция C-E получается немного больше, чем чистая терция, то секста E-C — ровно настолько же меньше. И так далее: с квартами дела обстоят так же, как с квинтами, а с септимами — так же, как с секундами.
Невозможность совершенства
Если посмотреть на таблицу частот разных нот, видно, что чистых интервалов там практически нет. Между нотами A3 и A4 одна октава разницы (220 Гц * 2=440 Гц). А, скажем, нота E4, которая на квинту выше A3, имеет частоту не 300 Гц (220 Гц * 3/2), а немного меньше.
Всё дело в том, что с чистыми интервалами есть проблема: они в очень многих случаях НЕ СХОДЯТСЯ друг с другом.
Например, возьмём ноту До (C), прибавим к ней две октавы и одну большую терцию. То есть два раза удвоим частоту, а потом умножим на 5/4.
Получилась нота Ми (E) через две октавы.
Теперь отложим от той же самой До четыре квинты вверх. То есть, четыре раза умножим частоту на 3/2. Получилась та же самая нота Ми.
Или не та же самая?
В первом случае частота Ми ровно в 5 раз выше, чем До: 2*2*5/4=5.
А во втором — в 81/16 раз выше (3/2*3/2*3/2*3/2=81/16). То есть в 5,0625 раз выше.
Получается, что две октавы плюс чистая большая терция не равны четырём чистым квинтам, из-за чего невозможно определить правильную частоту Ми относительно До. И таких расхождений много1.
—
Ещё пример: простая мелодия, которая начинается с До и движется так: квинта вверх, кварта вниз, квинта вверх, кварта вниз, большая терция вниз — вернулись в ту же До.
НО! Если все эти интервалы чистые, то До в конце мелодии получается выше, чем До, которая была в начале! А именно — в 81/80 раз выше: 3/2*3/4*3/2*3/4*4/5=81/80, и не равно 1. Повторим эту мелодию ещё раз, начав с новой До — и До станет выше почти на полтона. Вот, послушайте (в конце я для наглядности повторяю изначальную До):
Чтобы этого сдвига не происходило, придётся, например, пожертвовать чистотой большой терции и немного её увеличить.
А вот здесь, с 4:15, очень наглядно показывают этот сдвиг на примере аккордов.
—
Из всего этого ясно, что для построения нотной системы неизбежно придётся идти на какие-то компромиссы. Например, чтобы в предпоследнем примере получались не разные Ми, а одинаковые, придётся либо сделать квинту немного меньше, чем 3/2, либо сделать большую терцию немного больше, чем 5/4, либо сделать понемножку и то и другое. Именно это и происходило, когда музыканты пытались найти компромисс. В одни исторические периоды предпочтение отдавали чистой квинте, в другие — чистой терции.
Вот теперь можно рассказать про несколько исторических строёв.
Пифагоров строй
Начнём с того, что строй этот создал не Пифагор. Насколько я понимаю, строй оформился в период поздней античности, а название получил потому что был основан на идеях пифагорейцев, которым очень нравилась идея гармонии чисел.
Пифагоров строй — это звукоряд, построенный на двух самых простых соотношениях — октаве и чистой квинте. Берём основную ноту, откладываем от неё вверх и вниз цепочку квинт и таким образом находим частоты для всех остальных нот.
Начнём, например, с До. Прибавим к ней чистую квинту и получим Соль, частота которой в 3/2 раза выше До. Прибавим к этой Соль чистую квинту — получим Ре, частота которой в 3/2 выше, чем у Соль, и в 9/4 раз выше, чем у исходной До (3/2*3/2). Дальше — Ля, с частотой в 27/8 выше исходной До, и так далее.
В обратную сторону от До тоже можно откладывать квинты. Получится Фа, с множителем 2/3, Си-бемоль с множителем 4/9, и так далее.
На верхней клавиатуре изображены несколько первых шагов процесса:
На нижней клавиатуре полученные ноты собраны в одну октаву с До. Например, Ре (9/4), которая получилась из двух квинт, мы понизили на октаву (=поделили на 2), и получилась Ре, которая на тон выше исходной До: 9/8. Ля тоже понизим на октаву — получится 27/16. Ми понизим на две октавы, Фа повысим на октаву, и так далее.
Если начать с Ре и отложить от неё по три квинты в обе стороны, получится 7 нот (F-C-G-D-A-E-B), составляющих До-мажор. Переместим их в одну октаву и получим такие соотношения:
Если продолжить процесс дальше и отложить от Ре по шесть квинт в обе стороны, то получится такой ряд нот:
Получилось 13 нот, причём ноты Ab и G# получились разными: соотношение 1024/729 близко, но не равно 729/512 (1,40466...<1,423828...).
Так проявляется ещё одна проблема чистых интервалов: 7 чистых октав не равны 12 чистым квинтам. 7 октав — это 128/1. А 12 чистых квинт — это 531441/4096, то есть 129,746...
Наша пифагорова G# ровно на 12 квинт выше, чем Ab, поэтому когда мы их приводим в одну октаву, получается не одна нота а две близких.
Разница между ними называется Пифагоровой коммой. Это небольшой интервал, примерно 23,46 цента, то есть чуть меньше четверти нынешнего полутона.
Нам нужно 12 нот, поэтому отбросим Ab и оставим G#.
И теперь одна квинта из двенадцати не чистая, а на пифагорову комму меньше чистой.
Эту квинту назвали «волчьей» квинтой. «Биения», которые возникают в «волчьей» квинте, напомнили кому-то волчий вой, отсюда название.
Одна плохая квинта из двенадцати — ещё не беда (в конце концов, мы можем избегать игры в тональностях, в которых эта квинта встречается — а это половина всех тональностей). Беда в том, что ВСЕ интервалы в пифагоровом строе получены из квинт, а значит — любой интервал, в котором участвует волчья квинта, уменьшается или увеличивается на пифагорову комму. Например, большая секунда получается из двух квинт, поэтому из 12-ти больших секунд 10 штук получаются чистыми, а две (C#-D# и G#-A#) — уменьшены на пифагорову комму. Септимы D#-C# и A#-G#, соответственно, увеличены на пифагорову комму. С другими интервалами такая же беда, только там изменённых интервалов получится ещё больше. Например, большая терция строится из четырёх квинт, поэтому из 12-ти больших терций 8 будут «обычного» размера, а 4 штуки — на пифагорову комму меньше.
—
Ещё одна проблема с пифагоровым строем — терции в нём серьёзно отличаются от чистых. Пифагорова большая терция — это «четыре чистых квинты минус две октавы». То есть, 3/2*3/2*3/2*3/2:4. Получается 81/64, а это заметно больше, чем чистая большая терция 5/4 (1,265625 > 1,25).
То же самое с малой терцией. Пифагорова малая терция — это «две октавы минус три чистые квинты», или 2/3*2/3*2/3*4. Получается32/27, и это заметно меньше, чем чистая малая терция 6/5 (1,185185... < 1,2).
Интервал, на который они отличаются, называется синтонической коммой. Её размер — 81:80 или 21.51... цент (примерно одна пятая нынешнего полутона). С этой коммой мы уже встречались в начале текста — именно настолько повышалась До в мелодии, состоящей из чистых интервалов — и встретимся ещё.
Пифагоровы терции звучат для нас вполне норм, потому что они близки к нашим нынешним терциям (которые тоже совсем нечистые, но мы привыкли). Но средневековым музыкантам это было не норм, поэтому терция в то время не использовалась как основа гармонии.
Пифагоров строй использовали примерно до 15 века. Потом его стали модифицировать, чтобы как-то поправить ситуацию с терциями.
Среднетоновый строй на 1/4 коммы
В 16 веке появился новый строй — среднетоновый на 1/4 коммы. Он устроен так же как пифагоров, только размер всех квинт уменьшен ровно настолько, чтобы большая терция стала чистой.
Вот как это работает. Пифагорова большая терция создаётся с помощью четырёх квинт: строим цепочку квинт С-G-D-A-E, понижаем полученную E на две октавы, и получаем терцию C-E, которая, как я показывал выше, не чистая, а на синтоническую комму больше чистой. Если уменьшить каждую квинту на 1/4 синтонической коммы, то терция, полученная из четырёх квинт, уменьшится на одну синтоническую комму, а значит, станет равна чистой терции. При этом квинта перестала быть чистой, но и не сильно пострадала — уменьшилась всего на 5 центов.
Все остальные интервалы тоже получены из квинты, поэтому их размеры тоже изменились. Одним это пошло на пользу, другим — нет. Например, малая терция стала почти чистой (всего на 6 центов меньше чистой), большая секунда стала на 11 центов меньше чистой, и так далее. Но в целом интервалы получились приемлемые.
К сожалению, проблемы с «волчьей квинтой» и прочими волчьими интервалами здесь ещё хуже, чем в пифагоровом строе. В пифагоровом строе «волчья квинта» на пифагорову комму меньше чистой, а в среднетоновом — на полторы пифагоровы коммы больше. Поэтому одна квинта из двенадцати у нас получается безобразно, на 35 центов, увеличенной. Две большие секунды из двенадцати получаются безобразно увеличенными (на 30 центов больше чистой). 9 из 12-ти малых терций почти чистые, зато остальные три — на 47(!!) центов уменьшены. 8 из 12-ти больших терций совершенно чистые, зато остальные на 41(!) цент увеличены.
В итоге, при игре в тональностях, недалеко отходящих от основной ноты, мы получаем совершенно чистые большие терции и приемлемо чистые остальные интервалы. А вот в каком-нибудь Фа-диез мажоре будет много фальшивящих интервалов.
Одна и та же последовательность аккордов в разных тональностях. Начинаем с базового До мажора и сдвигаемся каждый раз на тон выше. Где-то в середине — там, где аккорды максимально далеки от базовой тональности — можно услышать некую фальшь.
Среднетоновый строй на 1/4 коммы был основным строем в европейской музыке до начала 18-го века, а на многих органах — до середины 19-го века.
Натуральный строй
Другая идея, которая возникла в конце 16 века — построить такой звукоряд, чтобы интервалы были максимально чистыми хотя бы в пределах одной тональности.
Возьмём ноту F и прибавим к ней чистую большую терцию, получив ноту A. К этой A прибавим чистую малую терцию и получим C. Продолжим чередовать большие и малые терции пока не получится 7 нот:
Чистая большая терция и чистая малая терция дают в сумме чистую квинту (5/4*6/5=3/2; хоть где-то эти чистые интервалы сходятся!), поэтому квинты F-C, A-E, C-G, E-B и G-D здесь получились чистые.
Соберём эти ноты в одну октаву и получим звукоряд До-мажор — CDEFGABC, в котором почти все интервалы чистые. Чистыми получились все большие терции (CE, FA и GB) и три из четырёх малых терций (E-G, A-C и B-D). Однако, полного совершенства не получилось даже здесь: квинта D-A и малая терция D-F на пифагорову комму меньше, чем чистые.
Кроме того, получились две разных больших секунды. Одна — C-D, F-G и A-B — такая же как в пифагоровом строе (9:8 или 204 цента). Вторая — D-E и G-A — на пифагорову комму меньше (10:9 или 182 цента). Малые секунды E-F и B-C одинаковые — 15:16 (112 центов).
Итак, у нас есть 7 «белых» нот, интервалы между которыми чисты настолько, насколько это возможно. Добавим к ним 5 оставшихся «чёрных» нот (например, вычтем квинту из F и получим Bb, и так далее).
Получился строй, в котором интервалы в «исходной» тональности (До-мажор) и близких к ней тональностях — в основном чистые. Но если фальши убавилось в одном месте, её должно прибавиться где-то ещё, поэтому интервалы в далёких от До-Мажора тональностях будут сильно фальшивить.
Сейчас в чистом строю играют только музыканты, аутентично исполняющие древнюю музыку. А с другой стороны, инструменты, у которых высота нот не фиксированная (вокал, безладовые струнные, часть духовых), на практике часто склоняются к чистым интервалам. Например, певцы, поющие терцию, могут подстраиваться друг под друга так, чтобы исчезли «биения».
Все терции и квинты в натуральном До мажоре.
«Хорошо темперированные» строи
В конце 17-начале 18 века появились строи, разработанные так, чтобы можно было играть во всех или почти всех тональностях с минимальной «лажей» в интервалах. Идея была в том, чтобы понижать не все квинты, как в среднетоновом строе, а выборочно понижать часть из них.
Этих строёв было множество. Например, в одной из темпераций Веркмейстера пять квинт (C-G, D-A, E-B, F#-C#, and Bb-F) уменьшены на 1/3 коммы, две квинты (G#-D# и Eb-Bb) увеличены на 1/3 коммы, а остальные квинты — чистые.
В «хорошо темперированных» строях одни интервалы получаются чистыми, другие — почти чистыми, и лишь некоторые отклоняются сильно. В итоге стало возможно играть во всех тональностях без сильной фальши. Тональности получились разными — в одних было больше отклонений от чистых интервалов, чем в других, и распределение этих отклонений получалось разное. Если в нынешнем, равномерно темперированном строе перенести музыку в другую тональность, то она прозвучит точно так же (в том смысле, что соотношения между всеми нотами останутся такими же). А в «хорошо темперированном» строе от этого изменится «оттенок» музыки, потому что интервалы будут немного другими.
Здесь нельзя не упомянуть «Хорошо темперированный клавир» — сборник произведений Баха, вышедший в 1722 году. Он состоит из произведений во всех 24-х тональностях (12 мажорных и 12 минорных). Название, скорее всего, отсылает к «хорошо темперированным» строям, тем более что и состав сборника как бы говорит: наконец-то появился строй, в котором можно играть во всех тональностях!
Бах был недоволен общепринятым тогда среднетоновым строем и настраивал свои инструменты как-то по своему. Неизвестно, какую именно темперацию он использовал. Некоторые музыковеды даже полагают, что строй Баха каким-то образом зашифрован в тринадцати петлях, нарисованных им на заглавии сборника:
Равномерно темперированный строй
Идея разбить октаву на 12 равных частей высказывалась с древних времён. Это решает проблему с несходящимся квинтовым кругом, делает все интервалы одинаковыми, а все тональности равноправными. Однако на практике её применять не спешили. Во первых, терции в этом строе почти такие же нечистые, как и в пифагоровом. Во-вторых, для расчётов соотношений между нотами нужна продвинутая математика — ведь всё основано на корне 12-й степени из двух. В-третьих, в эпоху «хорошо темперированных строёв» композиторам очень нравилось то, что у разных тональностей разный «оттенок» и характер.
В течение 19 века многие композиторы (например, Бетховен) начали широко применять в музыке модуляции в далёкие тональности, и идея о равноправности тональностей становилась всё более привлекательной.
Итак, берём октаву (2/1) и разбиваем её на 12 равных интервалов — полутонов, из которых будем составлять все остальные интервалы (большая терция — это 4 полутона, чистая квинта — 7 полутонов, и так далее). Каждый полутон равняется корню 12-й степени из двух (21/12) — примерно 1.059463. Теперь между двумя соседними нотами ВСЕГДА интервал в 100 центов. Все терции одинаковы по размеру, все квинты одинаковые, и так далее.
В этом строю нет ни одного чистого интервала кроме октавы — все остальные определяются не то чтобы непростыми дробями (как в пифагоровом строе), а вообще иррациональными отношениями. Очень близки к чистым оказались квинта (выше чистой всего на 2 цента), и большая секунда (ниже чистой всего на 4 цента). А вот терциям не повезло. Малая терция получилась на 16 центов меньше чистой, а большая — на 14 центов больше. Это серьёзная разница, приводящая к заметным биениям:
Тем не менее к 20 веку практически все музыканты перешли на этот строй (а лютни и гитары на нём всегда и были). Равноправие тональностей и полное отсутствие «волчьих» интервалов оказалось важнее, чем нечистые терции.
В следующей части поста — ещё аудиопримеры и таблицы с интервалами.
—
1 - Например:
Три чистые большие терции не равны октаве, а меньше: 5/4*5/4*5/4=1,953125.
Четыре чистые малые терции не равны октаве, а больше: 6/5*6/5*6/5*6/5=2,0736
Шесть чистых тонов не равны октаве, а больше: 9/8*9/8*9/8*9/8*9/8*9/8=2,027286529541015625.
2 — тем не менее были попытки решить проблему хотя бы частично и существовали инструменты, на которых одна, две или три из чёрных клавиш в каждой октаве раздвоены — например, Ля-бемоль и Соль-диез.
Например, вот этот клавесин, с 14 клавишами на октаву:
Или этот, с 19-ю клавишами на октаву:
Originally posted byrainy_sunny at Математика музыкального строя — приложение.
Нижеследующие таблицы наглядно показывают ситуацию с чистотой интервалов в разных исторических строях.
Размеры интервалов указаны в центах и округлены до целых центов.
Чистые интервалы выделены полужирным. Интервалы, которые отличаются от чистых на 10-20 центов выделены тёмно-красным, а отклонения более чем на 20 центов — ярко красным. Получается так:
чёрный жирный — совершенно чистый интервал;
просто чёрный — очень чистый;
тёмно-красный — не очень чистый;
ярко-красный — совсем фальшивый.
«Волчья» квинта (и всё, что из неё вытекает) в пифагоровом и среднетоновом строе у меня получилась в разных местах, так вышло. Вообще, её положение зависит от двух вещей — от какой ноты начали строить звукоряд и где решили замыкать квинтовый круг. Суть от этого не меняется. В любом случае, в пифагоровом строю будет одна «волчья» квинта из 12-ти, две «волчьи» большие секунды из 12-ти, и так далее...
Расстояния от До до остальных нот в той же октаве:
Размер полутонов:
Размер тонов:
Малые терции:
Большие терции:
Квинты:
Сравним строи:
—
Строи и особенности гармонии взаимно влияли друг на друга. В пифагоровом строе не было чистых терций, поэтому терции в то время не были основой гармонии, а были диссонансным, проходным интервалом. Музыка была более суровая и менее полифоничная. Придумали строи, в которых чистые терции — развился язык классической гармонии, основанной на аккордах, созданных из терций (все эти мажоры и миноры). Появилось желание более свободно менять тональности и усложнить гармонию — мысль двинулась в направлении хорошо темперированных строёв и равномерной темперации.
—
Так ли плохи нечистые терции? Послушайте чистые и равномерно темперированныe аккорды (РТ).
Да, РТ-аккорды звучат не так чисто, они немножко «плавают». Но можно сказать и наоборот: чистые аккорды по сравнению с РТ-аккордами кажутся застывшими и безжизненными. Мы уже вполне привыкли к тому, что аккорды немного «дышат» — почему бы и нет. А если хочется чистоты — так никто не мешает поиграть на синтезаторах или плагинах, которые поддерживают just intonation, со всеми её плюсами и минусами.
—
Пара слов для гитаристов. Гитара — инструмент изначально рассчитанный на равномерную темперацию. Расстояние между ладами каждый раз убывает в 21/12 раз. Поэтому все интервалы, которые мы берём на гитаре — равномерно темперированные.
А вот флажолеты дают исключительно чистые интервалы, они иначе не могут, потому что основаны на гармониках струны (их принцип действия я описывал в прошлый раз).
Напомню:
Флажолет на 12-м ладу увеличивает частоту в 2 раза и увеличивает высоту ноты на октаву (2/1)
Флажолет на 7-м или 19-м ладу увеличивает частоту в 3 раза и прибавляет к ноте октаву и ЧИСТУЮ квинту (3=2*3/2)
Флажолет на 5-м или 24-м ладу увеличивает частоту в 4 раза и прибавляет к ноте две октавы (2*2=4).
Флажолет на 4-м, 9-м или 16-м ладу увеличивает частоту в 5 раз и прибавляет к ноте две октавы плюс ЧИСТУЮ большую терцию (5=2*2*5/4).
Поэтому даже если идеально отстроить гитару по мензуре и настроить по тюнеру, то часть флажолетов будут давать «неправильные» ноты.
А именно — флажолеты на 12-м или 5-м ладу будут чистыми (потому что октавы)
Флажолеты на 7-м или 19-м ладу будут на 2 цента высить, потому что именно настолько чистая квинта больше равномерно темперированной.
А вот флажолеты на 4-м, 9-м или 16-м ладу будут сильно — на 14 центов — низить, потому что именно настолько чистая большая терция меньше равномерно темперированной.
Это стоит учитывать при настройке гитары по флажолетам. На идеально настроенной гитаре нота на 8 ладу струны B и флажолет на 12 ладу струны G — это одна и та же нота. Флажолеты на 7 ладу струны G и на 5 ладу струны D — уже отличаются на 2 цента, потому что флажолет на 7 ладу на 2 цента высит.
А вот флажолет на 5 ладу струны B и флажолет на 4 ладу струны G — это уже очень разные ноты. В первом случае это «правильная» B, которая на равномерно темперированную большую терцию выше, чем G, а во втором случае — нота, которая на чистую большую терцию выше, чем G. Разница между ними — 14 центов. Так что если подстроить струну G так, чтобы эти два флажолета совпали, гитара будет совершенно расстроена.
Ещё одна иллюстрация различия между чистой и РТ-большой терцией. Флажолет на 4 ладу нижней струны E и нота на 4 ладу верхней струны E — это вроде бы одна и та же нота G#, но на самом деле нет. В первом случае это нота на чистую терцию выше верхней Ми, во втором — на равномерно темперированную терцию.
Отсюда вывод: настраивать гитару по флажолетам можно, но ни в коем случае не используйте при этом флажолеты на 4-м ладу (и все остальные, дающие чистую терцию: 9 и 16).
—
Немного видео, которые мне попались в процессе написания поста:
Альбом 2007 года в чистом строе:
Канон Пахельбеля в трёх строях: натуральном, среднетоновом и равномерно темперированном:
Произведение 2008 года в среднетоновом строе:
rainy_sunny at Математика музыкального строя — основы.Сегодня я расскажу о том, что такое чистые музыкальные интервалы, почему невозможна абсолютная их чистота и на какие компромиссы музыкантам приходилось идти из-за этого.
Для понимания потребуется базовое знакомство с нотами и интервалами. В поcте много цифр, но вам считать ничего не придётся, достаточно понимать, что происходит.
Любую музыкальную ноту можно выразить цифрой — частотой колебания в герцах. А интервал между двумя нотами — соотношением двух частот. Например, нота на октаву выше данной всегда имеет частоту в 2 раза больше. Поэтому октава — это соотношение 2:1 или множитель 2.
Когда я буду говорить «интервал между двумя нотами равен 5:4», я буду иметь в виду, что частота более высокой ноты в 5:4 (или 1,25) раз выше, чем частота нижней ноты.
Имеет значение именно соотношение («во сколько раз выше»), а не разница частот («на сколько герц больше»). Например, между 100 и 200 Гц такой же интервал, как между 300 и 600 Гц, — октава (2:1).
Чтобы сложить два интервала, мы перемножаем их соотношения. «На октаву выше» значит «в 2 раза выше по частоте», поэтому на две октавы выше — в 4 раза выше, на три октавы — в 8 раз выше, и так далее.
—
Интервалы, которые выражаются простым соотношением (то есть дробью, у которой и числитель и знаменатель — небольшие целые числа), называются чистыми интервалами.
Основные чистые интервалы:
2:1 — октава
3:2 — квинта
4:3 — кварта
5:4 — большая терция
6:5 — малая терция.
Если интервал между нотами чистый, то эти ноты очень хорошо «сливаются» вместе. Музыканты издавна стремились к таким созвучиям.
Этому есть физическое объяснение. Любая нота состоит из гармоник — колебаний, кратных друг другу по частоте. Если соотношение между нотами простое, то часть гармоник у этих двух нот будут совпадать и полностью сливаться друг с другом.
Например, возьмём ноту с частотой 300 Гц и ноту на октаву выше (300*2=600 Гц) и выделим у них общие гармоники:
300, 600, 900, 1200, 1500, 1800, 2100, 2400,...
600, 1200, 1800, 2400,...
Теперь возьмём ноту с частотой 300 Гц и ноту на чистую квинту выше:
300, 600, 900, 1200, 1500, 1800, 2100, 2400, 2700,...
450, 900, 1350, 1800, 2250, 2700,...
На спектрограмме эти совпадающие гармоники хорошо видно (для сравнения я взял негармоничную пару — 300 и 520 Гц):
Кроме того, гармоники любой отдельной ноты содержат в себе чистые интервалы. Например, третья гармоника любой ноты в 3/2 раза выше по частоте, чем вторая гармоника этой же ноты. Так что чистые интервалы происходят из базовых физических свойств звука.
Самый простой из чистых интервалов — это октава: 2/1. Она обладает важным свойством — если взять две ноты с разницей в октаву, то ВСЕ гармоники верхней ноты будут совпадать с чётными гармониками нижней (пример - в предыдущей сноске). Такие ноты максимально «сливаются» вместе и воспринимаются как одна. Поэтому они и назваются одинаково (До и следующая До). Сравните одну и ту же мелодию сыгранную большими терциями, квинтами и октавами, и всё станет понятно:
В посте я буду говорить про разные квинты, терции, и т.д. Но величина октавы будет всегда одна — 2/1.
—
Когда одновременно звучат колебания близкой частоты (например, 200 и 202 Гц), между ними возникают так называемые биения — звук «плавает» или «дрожит» оттого что колебания медленно сдвигаются по фазе относительно друг друга.
Поэтому если интервал между двумя нотами не совсем чистый, но близок к чистому, то биения возникнут между некоторыми гармониками этих нот. Для примера — квинта, которая немного больше чистой:
200, 400, 600, 800, 1000, 1200,...
302, 604, 906, 1208,...
Чем сильнее интервал отклоняется от чистого, тем чаще биения и тем «нестабильнее» он звучит.
—
Ещё интервалы измеряют в центах. Цент — это очень маленький интервал: 1,0005777895... (корень 1200-й степени из 2х). Это одна сотая современного полутона. Он понадобится, чтобы оценить мелкие различия между интервалами.
Вот пример, который поможет ощутить масштабы цента:
—
Последнее примечание: из интервалов я буду говорить только о секундах, терциях и квинтах, потому что интервалы, которые являются обращениями друг друга, ведут себя совершенно аналогично. Например, если в каком-то строю терция C-E получается немного больше, чем чистая терция, то секста E-C — ровно настолько же меньше. И так далее: с квартами дела обстоят так же, как с квинтами, а с септимами — так же, как с секундами.
Невозможность совершенства
Если посмотреть на таблицу частот разных нот, видно, что чистых интервалов там практически нет. Между нотами A3 и A4 одна октава разницы (220 Гц * 2=440 Гц). А, скажем, нота E4, которая на квинту выше A3, имеет частоту не 300 Гц (220 Гц * 3/2), а немного меньше.
Всё дело в том, что с чистыми интервалами есть проблема: они в очень многих случаях НЕ СХОДЯТСЯ друг с другом.
Например, возьмём ноту До (C), прибавим к ней две октавы и одну большую терцию. То есть два раза удвоим частоту, а потом умножим на 5/4.
Получилась нота Ми (E) через две октавы.
Теперь отложим от той же самой До четыре квинты вверх. То есть, четыре раза умножим частоту на 3/2. Получилась та же самая нота Ми.
Или не та же самая?
В первом случае частота Ми ровно в 5 раз выше, чем До: 2*2*5/4=5.
А во втором — в 81/16 раз выше (3/2*3/2*3/2*3/2=81/16). То есть в 5,0625 раз выше.
Получается, что две октавы плюс чистая большая терция не равны четырём чистым квинтам, из-за чего невозможно определить правильную частоту Ми относительно До. И таких расхождений много1.
—
Ещё пример: простая мелодия, которая начинается с До и движется так: квинта вверх, кварта вниз, квинта вверх, кварта вниз, большая терция вниз — вернулись в ту же До.
НО! Если все эти интервалы чистые, то До в конце мелодии получается выше, чем До, которая была в начале! А именно — в 81/80 раз выше: 3/2*3/4*3/2*3/4*4/5=81/80, и не равно 1. Повторим эту мелодию ещё раз, начав с новой До — и До станет выше почти на полтона. Вот, послушайте (в конце я для наглядности повторяю изначальную До):
Чтобы этого сдвига не происходило, придётся, например, пожертвовать чистотой большой терции и немного её увеличить.
А вот здесь, с 4:15, очень наглядно показывают этот сдвиг на примере аккордов.
—
Из всего этого ясно, что для построения нотной системы неизбежно придётся идти на какие-то компромиссы. Например, чтобы в предпоследнем примере получались не разные Ми, а одинаковые, придётся либо сделать квинту немного меньше, чем 3/2, либо сделать большую терцию немного больше, чем 5/4, либо сделать понемножку и то и другое. Именно это и происходило, когда музыканты пытались найти компромисс. В одни исторические периоды предпочтение отдавали чистой квинте, в другие — чистой терции.
Вот теперь можно рассказать про несколько исторических строёв.
Пифагоров строй
Начнём с того, что строй этот создал не Пифагор. Насколько я понимаю, строй оформился в период поздней античности, а название получил потому что был основан на идеях пифагорейцев, которым очень нравилась идея гармонии чисел.
Пифагоров строй — это звукоряд, построенный на двух самых простых соотношениях — октаве и чистой квинте. Берём основную ноту, откладываем от неё вверх и вниз цепочку квинт и таким образом находим частоты для всех остальных нот.
Начнём, например, с До. Прибавим к ней чистую квинту и получим Соль, частота которой в 3/2 раза выше До. Прибавим к этой Соль чистую квинту — получим Ре, частота которой в 3/2 выше, чем у Соль, и в 9/4 раз выше, чем у исходной До (3/2*3/2). Дальше — Ля, с частотой в 27/8 выше исходной До, и так далее.
В обратную сторону от До тоже можно откладывать квинты. Получится Фа, с множителем 2/3, Си-бемоль с множителем 4/9, и так далее.
На верхней клавиатуре изображены несколько первых шагов процесса:
На нижней клавиатуре полученные ноты собраны в одну октаву с До. Например, Ре (9/4), которая получилась из двух квинт, мы понизили на октаву (=поделили на 2), и получилась Ре, которая на тон выше исходной До: 9/8. Ля тоже понизим на октаву — получится 27/16. Ми понизим на две октавы, Фа повысим на октаву, и так далее.
Если начать с Ре и отложить от неё по три квинты в обе стороны, получится 7 нот (F-C-G-D-A-E-B), составляющих До-мажор. Переместим их в одну октаву и получим такие соотношения:
| Нота | C | D | E | F | G | A | B | C | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Соотношение с первой С | 1/1 | 9/8 | 81/64 | 4/3 | 3/2 | 27/16 | 243/128 | 2/1 | ||||||||
| Соотношение между соседними нотами | 9/8 | 9/8 | 256/243 | 9/8 | 9/8 | 9/8 | 256/243 | |||||||||
Если продолжить процесс дальше и отложить от Ре по шесть квинт в обе стороны, то получится такой ряд нот:
| Нота | Соотношение с D |
| Ab | 1024/729 |
| Eb | 256/243 |
| Bb | 128/81 |
| F | 32/27 |
| C | 16/9 |
| G | 4/3 |
| D | 1 |
| A | 3/2 |
| E | 9/8 |
| B | 27/16 |
| F# | 81/64 |
| C# | 243/128 |
| G# | 729/512 |
Получилось 13 нот, причём ноты Ab и G# получились разными: соотношение 1024/729 близко, но не равно 729/512 (1,40466...<1,423828...).
Так проявляется ещё одна проблема чистых интервалов: 7 чистых октав не равны 12 чистым квинтам. 7 октав — это 128/1. А 12 чистых квинт — это 531441/4096, то есть 129,746...
Наша пифагорова G# ровно на 12 квинт выше, чем Ab, поэтому когда мы их приводим в одну октаву, получается не одна нота а две близких.
Разница между ними называется Пифагоровой коммой. Это небольшой интервал, примерно 23,46 цента, то есть чуть меньше четверти нынешнего полутона.
Нам нужно 12 нот, поэтому отбросим Ab и оставим G#.
Можно, конечно, ввести в наш строй обе ноты — Ab и G#, но это во-первых, непрактично на многих инструментах2, а во вторых, не решит проблему полностью. Например, мы не сможем сыграть чистую квинту от G#, потому что ноты D# у нас нет, а если играть вместо неё Eb, квинта будет не чистая, а опять же уменьшенная на пифагорову комму.
А если продолжать добавлять ноты, то придётся строить инструмент с такой, например, клавиатурой:
Если играть в До-мажоре или каких-то близких тональностях, достаточно будет среднего ряда клавиш. А вот чистую квинту от G# придётся играть так: G# на средней клавиатуре и D# на верхней. И вообще: в тональностях, в которых много «чёрных клавиш» часть нот придётся брать на одной клавиатуре, часть на другой.
И теперь одна квинта из двенадцати не чистая, а на пифагорову комму меньше чистой.
Эту квинту назвали «волчьей» квинтой. «Биения», которые возникают в «волчьей» квинте, напомнили кому-то волчий вой, отсюда название.
Одна плохая квинта из двенадцати — ещё не беда (в конце концов, мы можем избегать игры в тональностях, в которых эта квинта встречается — а это половина всех тональностей). Беда в том, что ВСЕ интервалы в пифагоровом строе получены из квинт, а значит — любой интервал, в котором участвует волчья квинта, уменьшается или увеличивается на пифагорову комму. Например, большая секунда получается из двух квинт, поэтому из 12-ти больших секунд 10 штук получаются чистыми, а две (C#-D# и G#-A#) — уменьшены на пифагорову комму. Септимы D#-C# и A#-G#, соответственно, увеличены на пифагорову комму. С другими интервалами такая же беда, только там изменённых интервалов получится ещё больше. Например, большая терция строится из четырёх квинт, поэтому из 12-ти больших терций 8 будут «обычного» размера, а 4 штуки — на пифагорову комму меньше.
—
Ещё одна проблема с пифагоровым строем — терции в нём серьёзно отличаются от чистых. Пифагорова большая терция — это «четыре чистых квинты минус две октавы». То есть, 3/2*3/2*3/2*3/2:4. Получается 81/64, а это заметно больше, чем чистая большая терция 5/4 (1,265625 > 1,25).
То же самое с малой терцией. Пифагорова малая терция — это «две октавы минус три чистые квинты», или 2/3*2/3*2/3*4. Получается32/27, и это заметно меньше, чем чистая малая терция 6/5 (1,185185... < 1,2).
| Малая терция | Большая терция | |
| Чистая | 6:5 315.64 центов |
5:4 386.31 центов |
| Пифагорова | 32:27 294.13 цента |
81:64 408 центов |
| Разница | на 21.51 цент меньше | на 21.51 цент больше |
Интервал, на который они отличаются, называется синтонической коммой. Её размер — 81:80 или 21.51... цент (примерно одна пятая нынешнего полутона). С этой коммой мы уже встречались в начале текста — именно настолько повышалась До в мелодии, состоящей из чистых интервалов — и встретимся ещё.
Пифагоровы терции звучат для нас вполне норм, потому что они близки к нашим нынешним терциям (которые тоже совсем нечистые, но мы привыкли). Но средневековым музыкантам это было не норм, поэтому терция в то время не использовалась как основа гармонии.
Пифагоров строй использовали примерно до 15 века. Потом его стали модифицировать, чтобы как-то поправить ситуацию с терциями.
Среднетоновый строй на 1/4 коммы
В 16 веке появился новый строй — среднетоновый на 1/4 коммы. Он устроен так же как пифагоров, только размер всех квинт уменьшен ровно настолько, чтобы большая терция стала чистой.
Вот как это работает. Пифагорова большая терция создаётся с помощью четырёх квинт: строим цепочку квинт С-G-D-A-E, понижаем полученную E на две октавы, и получаем терцию C-E, которая, как я показывал выше, не чистая, а на синтоническую комму больше чистой. Если уменьшить каждую квинту на 1/4 синтонической коммы, то терция, полученная из четырёх квинт, уменьшится на одну синтоническую комму, а значит, станет равна чистой терции. При этом квинта перестала быть чистой, но и не сильно пострадала — уменьшилась всего на 5 центов.
Все остальные интервалы тоже получены из квинты, поэтому их размеры тоже изменились. Одним это пошло на пользу, другим — нет. Например, малая терция стала почти чистой (всего на 6 центов меньше чистой), большая секунда стала на 11 центов меньше чистой, и так далее. Но в целом интервалы получились приемлемые.
К сожалению, проблемы с «волчьей квинтой» и прочими волчьими интервалами здесь ещё хуже, чем в пифагоровом строе. В пифагоровом строе «волчья квинта» на пифагорову комму меньше чистой, а в среднетоновом — на полторы пифагоровы коммы больше. Поэтому одна квинта из двенадцати у нас получается безобразно, на 35 центов, увеличенной. Две большие секунды из двенадцати получаются безобразно увеличенными (на 30 центов больше чистой). 9 из 12-ти малых терций почти чистые, зато остальные три — на 47(!!) центов уменьшены. 8 из 12-ти больших терций совершенно чистые, зато остальные на 41(!) цент увеличены.
В итоге, при игре в тональностях, недалеко отходящих от основной ноты, мы получаем совершенно чистые большие терции и приемлемо чистые остальные интервалы. А вот в каком-нибудь Фа-диез мажоре будет много фальшивящих интервалов.
Одна и та же последовательность аккордов в разных тональностях. Начинаем с базового До мажора и сдвигаемся каждый раз на тон выше. Где-то в середине — там, где аккорды максимально далеки от базовой тональности — можно услышать некую фальшь.
Среднетоновый строй на 1/4 коммы был основным строем в европейской музыке до начала 18-го века, а на многих органах — до середины 19-го века.
Натуральный строй
Другая идея, которая возникла в конце 16 века — построить такой звукоряд, чтобы интервалы были максимально чистыми хотя бы в пределах одной тональности.
Возьмём ноту F и прибавим к ней чистую большую терцию, получив ноту A. К этой A прибавим чистую малую терцию и получим C. Продолжим чередовать большие и малые терции пока не получится 7 нот:
| Нота | F | A | C | E | G | B | D | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Соотношение | 5:4 | 6:5 | 5:4 | 6:5 | 5:4 | 6:5 | ||||||||
Чистая большая терция и чистая малая терция дают в сумме чистую квинту (5/4*6/5=3/2; хоть где-то эти чистые интервалы сходятся!), поэтому квинты F-C, A-E, C-G, E-B и G-D здесь получились чистые.
Соберём эти ноты в одну октаву и получим звукоряд До-мажор — CDEFGABC, в котором почти все интервалы чистые. Чистыми получились все большие терции (CE, FA и GB) и три из четырёх малых терций (E-G, A-C и B-D). Однако, полного совершенства не получилось даже здесь: квинта D-A и малая терция D-F на пифагорову комму меньше, чем чистые.
Кроме того, получились две разных больших секунды. Одна — C-D, F-G и A-B — такая же как в пифагоровом строе (9:8 или 204 цента). Вторая — D-E и G-A — на пифагорову комму меньше (10:9 или 182 цента). Малые секунды E-F и B-C одинаковые — 15:16 (112 центов).
Итак, у нас есть 7 «белых» нот, интервалы между которыми чисты настолько, насколько это возможно. Добавим к ним 5 оставшихся «чёрных» нот (например, вычтем квинту из F и получим Bb, и так далее).
Получился строй, в котором интервалы в «исходной» тональности (До-мажор) и близких к ней тональностях — в основном чистые. Но если фальши убавилось в одном месте, её должно прибавиться где-то ещё, поэтому интервалы в далёких от До-Мажора тональностях будут сильно фальшивить.
Сейчас в чистом строю играют только музыканты, аутентично исполняющие древнюю музыку. А с другой стороны, инструменты, у которых высота нот не фиксированная (вокал, безладовые струнные, часть духовых), на практике часто склоняются к чистым интервалам. Например, певцы, поющие терцию, могут подстраиваться друг под друга так, чтобы исчезли «биения».
Все терции и квинты в натуральном До мажоре.
«Хорошо темперированные» строи
В конце 17-начале 18 века появились строи, разработанные так, чтобы можно было играть во всех или почти всех тональностях с минимальной «лажей» в интервалах. Идея была в том, чтобы понижать не все квинты, как в среднетоновом строе, а выборочно понижать часть из них.
Этих строёв было множество. Например, в одной из темпераций Веркмейстера пять квинт (C-G, D-A, E-B, F#-C#, and Bb-F) уменьшены на 1/3 коммы, две квинты (G#-D# и Eb-Bb) увеличены на 1/3 коммы, а остальные квинты — чистые.
В «хорошо темперированных» строях одни интервалы получаются чистыми, другие — почти чистыми, и лишь некоторые отклоняются сильно. В итоге стало возможно играть во всех тональностях без сильной фальши. Тональности получились разными — в одних было больше отклонений от чистых интервалов, чем в других, и распределение этих отклонений получалось разное. Если в нынешнем, равномерно темперированном строе перенести музыку в другую тональность, то она прозвучит точно так же (в том смысле, что соотношения между всеми нотами останутся такими же). А в «хорошо темперированном» строе от этого изменится «оттенок» музыки, потому что интервалы будут немного другими.
Здесь нельзя не упомянуть «Хорошо темперированный клавир» — сборник произведений Баха, вышедший в 1722 году. Он состоит из произведений во всех 24-х тональностях (12 мажорных и 12 минорных). Название, скорее всего, отсылает к «хорошо темперированным» строям, тем более что и состав сборника как бы говорит: наконец-то появился строй, в котором можно играть во всех тональностях!
Бах был недоволен общепринятым тогда среднетоновым строем и настраивал свои инструменты как-то по своему. Неизвестно, какую именно темперацию он использовал. Некоторые музыковеды даже полагают, что строй Баха каким-то образом зашифрован в тринадцати петлях, нарисованных им на заглавии сборника:
Равномерно темперированный строй
Идея разбить октаву на 12 равных частей высказывалась с древних времён. Это решает проблему с несходящимся квинтовым кругом, делает все интервалы одинаковыми, а все тональности равноправными. Однако на практике её применять не спешили. Во первых, терции в этом строе почти такие же нечистые, как и в пифагоровом. Во-вторых, для расчётов соотношений между нотами нужна продвинутая математика — ведь всё основано на корне 12-й степени из двух. В-третьих, в эпоху «хорошо темперированных строёв» композиторам очень нравилось то, что у разных тональностей разный «оттенок» и характер.
В течение 19 века многие композиторы (например, Бетховен) начали широко применять в музыке модуляции в далёкие тональности, и идея о равноправности тональностей становилась всё более привлекательной.
Итак, берём октаву (2/1) и разбиваем её на 12 равных интервалов — полутонов, из которых будем составлять все остальные интервалы (большая терция — это 4 полутона, чистая квинта — 7 полутонов, и так далее). Каждый полутон равняется корню 12-й степени из двух (21/12) — примерно 1.059463. Теперь между двумя соседними нотами ВСЕГДА интервал в 100 центов. Все терции одинаковы по размеру, все квинты одинаковые, и так далее.
В этом строю нет ни одного чистого интервала кроме октавы — все остальные определяются не то чтобы непростыми дробями (как в пифагоровом строе), а вообще иррациональными отношениями. Очень близки к чистым оказались квинта (выше чистой всего на 2 цента), и большая секунда (ниже чистой всего на 4 цента). А вот терциям не повезло. Малая терция получилась на 16 центов меньше чистой, а большая — на 14 центов больше. Это серьёзная разница, приводящая к заметным биениям:
Тем не менее к 20 веку практически все музыканты перешли на этот строй (а лютни и гитары на нём всегда и были). Равноправие тональностей и полное отсутствие «волчьих» интервалов оказалось важнее, чем нечистые терции.
В следующей части поста — ещё аудиопримеры и таблицы с интервалами.
—
1 - Например:
Три чистые большие терции не равны октаве, а меньше: 5/4*5/4*5/4=1,953125.
Четыре чистые малые терции не равны октаве, а больше: 6/5*6/5*6/5*6/5=2,0736
Шесть чистых тонов не равны октаве, а больше: 9/8*9/8*9/8*9/8*9/8*9/8=2,027286529541015625.
2 — тем не менее были попытки решить проблему хотя бы частично и существовали инструменты, на которых одна, две или три из чёрных клавиш в каждой октаве раздвоены — например, Ля-бемоль и Соль-диез.
Например, вот этот клавесин, с 14 клавишами на октаву:
Или этот, с 19-ю клавишами на октаву:
Originally posted by
rainy_sunny at Математика музыкального строя — приложение.Нижеследующие таблицы наглядно показывают ситуацию с чистотой интервалов в разных исторических строях.
Размеры интервалов указаны в центах и округлены до целых центов.
Чистые интервалы выделены полужирным. Интервалы, которые отличаются от чистых на 10-20 центов выделены тёмно-красным, а отклонения более чем на 20 центов — ярко красным. Получается так:
чёрный жирный — совершенно чистый интервал;
просто чёрный — очень чистый;
тёмно-красный — не очень чистый;
ярко-красный — совсем фальшивый.
«Волчья» квинта (и всё, что из неё вытекает) в пифагоровом и среднетоновом строе у меня получилась в разных местах, так вышло. Вообще, её положение зависит от двух вещей — от какой ноты начали строить звукоряд и где решили замыкать квинтовый круг. Суть от этого не меняется. В любом случае, в пифагоровом строю будет одна «волчья» квинта из 12-ти, две «волчьи» большие секунды из 12-ти, и так далее...
Расстояния от До до остальных нот в той же октаве:
| Пифагоров | Среднетоновый на 1/4 коммы | Натуральный | Хорошо темперированный (3-я темперация Веркмейстера) |
Равномерно темперированный | |
| С | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| С#/Db | 114 | 117 | 112 | 90 | 100 |
| D | 204 | 193 | 204 | 192 | 200 |
| D#/Eb | 294 | 310 | 316 | 294 | 300 |
| E | 408 | 386 | 386 | 390 | 400 |
| F | 498 | 503 | 498 | 498 | 500 |
| F#/Gb | 612 | 580 | 590 | 588 | 600 |
| G | 702 | 697 | 702 | 696 | 700 |
| G#/Ab | 815 | 814 | 814 | 792 | 800 |
| A | 906 | 890 | 884 | 888 | 900 |
| A#/Bb | 996 | 1007 | 996 | 996 | 1000 |
| B | 1110 | 1083 | 1088 | 1092 | 1100 |
| С | 1200 | 1200 | 1200 | 1200 | 1200 |
Размер полутонов:
| Пифагоров | Среднетоновый на 1/4 коммы | Натуральный | Хорошо темперированный (3-я темперация Веркмейстера) |
Равномерно темперированный | |
| С-C# | 90 | 117 | 112 | 90 | 100 |
| С#-D | 114 | 76 | 92 | 102 | 100 |
| D-D# | 90 | 117 | 112 | 102 | 100 |
| D#-E | 114 | 76 | 70 | 96 | 100 |
| E-F | 90 | 117 | 112 | 108 | 100 |
| F-F# | 90 | 77 | 92 | 90 | 100 |
| F#-G | 114 | 117 | 112 | 108 | 100 |
| G-G# | 90 | 117 | 112 | 96 | 100 |
| G#-A | 114 | 76 | 70 | 96 | 100 |
| A-A# | 90 | 117 | 112 | 108 | 100 |
| A#-B | 114 | 76 | 92 | 96 | 100 |
| B-C | 90 | 117 | 112 | 108 | 100 |
Сложно сказать, что именно является натуральным полутоном: их несколько и все натуральные.
Один полутон равен 16/15 или 112 центов. Это — разница между чистой квартой и чистой большой терцией. Другой — 25/24 или 70 центов, это разница между чистой большой и чистой малой терциями. Ещё один — 135/128, или 92 цента.
Поэтому в этой таблице я не стал выделять никаких отклонений.
Размер тонов:
| Пифагоров | Среднетоновый на 1/4 коммы | Натуральный | Хорошо темперированный (3-я темперация Веркмейстера) |
Равномерно темперированный | |
| C-D | 204 | 193 | 204 | 192 | 200 |
| С#-D# | 204 | 193 | 204 | 204 | 200 |
| D-E | 204 | 193 | 182 | 198 | 200 |
| D#-F | 204 | 193 | 182 | 204 | 200 |
| E-F# | 180 | 194 | 204 | 198 | 200 |
| F-G | 204 | 194 | 204 | 198 | 200 |
| F#-G# | 204 | 234 | 224 | 204 | 200 |
| G-A | 204 | 193 | 182 | 192 | 200 |
| G#-A# | 204 | 193 | 182 | 204 | 200 |
| A-B | 204 | 193 | 204 | 204 | 200 |
| A#-C | 204 | 193 | 204 | 204 | 200 |
| B-C# | 180 | 234 | 224 | 198 | 200 |
Малые терции:
| Пифагоров | Среднетоновый на 1/4 коммы | Натуральный | Хорошо темперированный (3-я темперация Веркмейстера) |
Равномерно темперированный | |
| C-D# | 294 | 310 | 316 | 294 | 300 |
| С#-E | 318 | 279 | 274 | 300 | 300 |
| D-F | 294 | 310 | 294 | 306 | 300 |
| D#-F# | 294 | 270 | 274 | 294 | 300 |
| E-G | 294 | 311 | 316 | 306 | 300 |
| F-G# | 294 | 311 | 316 | 294 | 300 |
| F#-A | 318 | 310 | 294 | 300 | 300 |
| G-A# | 294 | 310 | 294 | 300 | 300 |
| G#-B | 318 | 269 | 274 | 300 | 300 |
| A-C | 294 | 310 | 316 | 312 | 300 |
| A#-C# | 294 | 310 | 316 | 294 | 300 |
| B-D | 294 | 310 | 316 | 300 | 300 |
Большие терции:
| Пифагоров | Среднетоновый на 1/4 коммы | Натуральный | Хорошо темперированный (3-я темперация Веркмейстера) |
Равномерно темперированный | |
| C-E | 408 | 386 | 386 | 390 | 400 |
| С#-F | 408 | 386 | 386 | 408 | 400 |
| D-F# | 384 | 387 | 386 | 396 | 400 |
| D#-G | 408 | 387 | 386 | 402 | 400 |
| E-G# | 384 | 428 | 428 | 402 | 400 |
| F-A | 408 | 387 | 386 | 390 | 400 |
| F#-A# | 408 | 427 | 406 | 408 | 400 |
| G-B | 408 | 386 | 386 | 396 | 400 |
| G#-C | 408 | 386 | 386 | 408 | 400 |
| A-C# | 384 | 427 | 428 | 402 | 400 |
| A#-D | 408 | 386 | 408 | 396 | 400 |
| B-D# | 384 | 427 | 428 | 402 | 400 |
Квинты:
| Пифагоров | Среднетоновый на 1/4 коммы | Натуральный | Хорошо темперированный (3-я темперация Веркмейстера) |
Равномерно темперированный | |
| C-G | 702 | 697 | 702 | 696 | 700 |
| С#-G# | 702 | 697 | 702 | 702 | 700 |
| D-A | 702 | 697 | 680 | 696 | 700 |
| D#-A# | 702 | 697 | 680 | 702 | 700 |
| E-B | 702 | 697 | 702 | 702 | 700 |
| F-C | 702 | 697 | 702 | 702 | 700 |
| F#-C# | 702 | 737 | 722 | 702 | 700 |
| G-D | 702 | 696 | 702 | 696 | 700 |
| G#-D# | 702 | 696 | 702 | 702 | 700 |
| A-E | 702 | 696 | 702 | 702 | 700 |
| A#-F | 702 | 696 | 702 | 702 | 700 |
| B-F# | 678 | 697 | 702 | 696 | 700 |
Квинте (и её «сестре» кварте) везёт больше, чем другим интервалам: почти во всех строях она очень близка к чистой (за исключением «волчьих квинт»).
Сравним строи:
| Строй | Пифагоров | Среднетоновый на 1/4 коммы | Натуральный | Хорошо темперированный | Равномерно темперированный |
| Эпоха | С поздней античности до 15 века. | 16-17 век | Описан в 16 веке, применялся и до этого и после. | Конец 17 века - 19 век | 20-21 век |
| Принцип построения | Откладываем от исходной ноты чистые квинты | Откладываем от исходной ноты квинты, уменьшенные на 1/4 пифагоровой коммы | Откладываем от исходной ноты чередование чистых больших и малых терций | Откладываем от исходной ноты квинты, размер которых выборочно подкручен | Делим октаву на 12 равных частей |
| Квинты | 11 идеальных, одна грязная | 11 хороших, одна грязная | 9 идеальных, три грязные | Одни идеальные, другие хорошие | Все одинаковые и всего на 2 цента меньше чистой |
| Большие терции | 8 пифагоровых терций (на 22 цента выше чистой), 4 «волчьих» (на 2 цента меньше чистой) | 8 идеальных, 4 очень грязных | 7 идеальных, 5 грязных | Завышены, размеры варьируются | Все одинаковые, на 14 центов больше чистой |
| Малые терции | 9 пифагоровых терций (на 22 цента ниже чистой), 3 «волчьих» (на 2 цента выше чистой) | 9 хороших, 3 очень грязных | 6 идеальных, 6 грязных | Занижены, размеры варьируются. | Все одинаковые, на 16 центов меньше чистой |
| Преимущества | Простое и последовательное построение. Чистые квинты (кроме одной) и большие секунды (кроме двух). | Чистые большие терции (кроме четырёх грязных), почти чистые малые терции (кроме трёх грязных), почти чистые квинты (кроме одной волчьей). | Почти все интервалы в пределах базовой тональности — совершенно чистые | Можно играть во всех тональностях без особой фальши. Чистые и почти чистые квинты. У каждой тональности свой характер. | Почти чистые квинты и большие секунды, умеренно чистые остальные интервалы, и всё это одинаковое во всех тональностях. |
| Недостатки | Волчья квинта. Совсем нечистые терции. | Проблемы с «волчьими» интервалами ещё хуже, чем в пифагоровом строе | В тональностях далёких от базовой всё жутко фальшивит. Даже в базовой тональности есть пара нечистых интервалов | Ни одна терция не является полностью чистой. Кое-где попадаются заметно нечистые интервалы. | Ни одного совершенно чистого интервала, кроме октавы. Терции и тритон существенно отличаются от чистых. |
—
Строи и особенности гармонии взаимно влияли друг на друга. В пифагоровом строе не было чистых терций, поэтому терции в то время не были основой гармонии, а были диссонансным, проходным интервалом. Музыка была более суровая и менее полифоничная. Придумали строи, в которых чистые терции — развился язык классической гармонии, основанной на аккордах, созданных из терций (все эти мажоры и миноры). Появилось желание более свободно менять тональности и усложнить гармонию — мысль двинулась в направлении хорошо темперированных строёв и равномерной темперации.
—
Так ли плохи нечистые терции? Послушайте чистые и равномерно темперированныe аккорды (РТ).
Да, РТ-аккорды звучат не так чисто, они немножко «плавают». Но можно сказать и наоборот: чистые аккорды по сравнению с РТ-аккордами кажутся застывшими и безжизненными. Мы уже вполне привыкли к тому, что аккорды немного «дышат» — почему бы и нет. А если хочется чистоты — так никто не мешает поиграть на синтезаторах или плагинах, которые поддерживают just intonation, со всеми её плюсами и минусами.
—
Пара слов для гитаристов. Гитара — инструмент изначально рассчитанный на равномерную темперацию. Расстояние между ладами каждый раз убывает в 21/12 раз. Поэтому все интервалы, которые мы берём на гитаре — равномерно темперированные.
А вот флажолеты дают исключительно чистые интервалы, они иначе не могут, потому что основаны на гармониках струны (их принцип действия я описывал в прошлый раз).
Напомню:
Флажолет на 12-м ладу увеличивает частоту в 2 раза и увеличивает высоту ноты на октаву (2/1)
Флажолет на 7-м или 19-м ладу увеличивает частоту в 3 раза и прибавляет к ноте октаву и ЧИСТУЮ квинту (3=2*3/2)
Флажолет на 5-м или 24-м ладу увеличивает частоту в 4 раза и прибавляет к ноте две октавы (2*2=4).
Флажолет на 4-м, 9-м или 16-м ладу увеличивает частоту в 5 раз и прибавляет к ноте две октавы плюс ЧИСТУЮ большую терцию (5=2*2*5/4).
Поэтому даже если идеально отстроить гитару по мензуре и настроить по тюнеру, то часть флажолетов будут давать «неправильные» ноты.
А именно — флажолеты на 12-м или 5-м ладу будут чистыми (потому что октавы)
Флажолеты на 7-м или 19-м ладу будут на 2 цента высить, потому что именно настолько чистая квинта больше равномерно темперированной.
А вот флажолеты на 4-м, 9-м или 16-м ладу будут сильно — на 14 центов — низить, потому что именно настолько чистая большая терция меньше равномерно темперированной.
Это стоит учитывать при настройке гитары по флажолетам. На идеально настроенной гитаре нота на 8 ладу струны B и флажолет на 12 ладу струны G — это одна и та же нота. Флажолеты на 7 ладу струны G и на 5 ладу струны D — уже отличаются на 2 цента, потому что флажолет на 7 ладу на 2 цента высит.
А вот флажолет на 5 ладу струны B и флажолет на 4 ладу струны G — это уже очень разные ноты. В первом случае это «правильная» B, которая на равномерно темперированную большую терцию выше, чем G, а во втором случае — нота, которая на чистую большую терцию выше, чем G. Разница между ними — 14 центов. Так что если подстроить струну G так, чтобы эти два флажолета совпали, гитара будет совершенно расстроена.
Ещё одна иллюстрация различия между чистой и РТ-большой терцией. Флажолет на 4 ладу нижней струны E и нота на 4 ладу верхней струны E — это вроде бы одна и та же нота G#, но на самом деле нет. В первом случае это нота на чистую терцию выше верхней Ми, во втором — на равномерно темперированную терцию.
Отсюда вывод: настраивать гитару по флажолетам можно, но ни в коем случае не используйте при этом флажолеты на 4-м ладу (и все остальные, дающие чистую терцию: 9 и 16).
—
Немного видео, которые мне попались в процессе написания поста:
Альбом 2007 года в чистом строе:
Канон Пахельбеля в трёх строях: натуральном, среднетоновом и равномерно темперированном:
Произведение 2008 года в среднетоновом строе:
no subject
Date: 2018-04-30 01:43 am (UTC)Шкода, що я — перший коментатор; важко це все сприймати без підготовки.
Чим відрізняється ля-дієз від соль-бемоль, наприклад (там ще за теґом).